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設常數a＞0，(ax2+
1
x
) 4展開式中x3的系數為
3
2
，則
lim
n→∞
(a+a2+…+an)=（　　）
A、
1
4
B、
1
2
C、2
D、1
分析：利用二項展開式的通項公式求出展開式的通項，令x的指數為3，求出展開式的x3的系數，列出方程求出a，利用等比數列的前n項和公式求出值，再求極限值．
解答：解：(ax2+
1
x
)4展開式的通項為Tr+1=a4-r
C
r
4
x8-
5r
2

令8-
5
2
r=3得r=2
展開式中x3的系數為a2
C
2
4
=
3
2

解得a=
1
2

∴
lim
n→∞
(a+a2+…+an)=
lim
n→∞
1
2
(1-(
1
2
)n)
1-
1
2
 =1
故選D
點評：本題考查利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特定項問題、考查等比數列的前n項和公式．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數y=x+
a
x
有如下性質：如果常數a＞0，那么該函數在(0，
a
]上是減函數，在[
a
，+∞)上是增函數．
（1）如果函數y=x+
2b
x
(x＞0)在（0，4]上是減函數，在[4，+∞）上是增函數，求b的值．
（2）設常數c∈[1，4]，求函數f(x)=x+
c
x
(1≤x≤2)的最大值和最小值；
（3）當n是正整數時，研究函數g(x)=xn+
c
xn
(c＞0)的單調性，并說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設常數a＞0，(ax-
1
x
)5展開式中x3的系數為-
5
81
，則a=
 
，
lim
n→∞
(a+a2+…+an)=
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數y=x+
a
x
旦（a＞0）有如下的性質：在區間（0，
a
]上單調遞減，在[
a
，+∞）上單調遞增．
（1）如果函數f（x）=x+
2b
x
在（0，4]上單調遞減，在[4，+∞）上單調遞增，求常數b的值．
（2）設常數a∈[l，4]，求函數y=x+
a
x
在x∈[l，2]的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=x+
a
x
有如下性質：如果常數a＞0，那么該函數在（0，
a
]上是減函數，在[
a
，+∞）上是增函數．
（1）如果函數y=x+
2b
x
（x＞0）在（0，4]上是減函數，在[4，+∞）是增函數，求b的值；
（2）證明：函數f（x）=x+
a
x
（常數a＞0）在（0，
a
]上是減函數；
（3）設常數c∈（1，9），求函數f（x）=x+
c
x
在x∈[1，3]上的最小值和最大值．

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科目：高中數學 來源：朝陽區二模 題型：填空題

設常數a＞0，(ax-
1
x
)5展開式中x3的系數為-
5
81
，則a=______，
lim
n→∞
(a+a2+…+an)=______．

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