Question

（2013•淄博二模）在平面直角坐標系xoy中，圓C的方程為x²+y²-8x+15=0，若直線y=kx+2上至少存在一點，使得以該點為圓心，半徑為1的圓與圓C有公共點，則k的最小值是（　　）

• A．-

  4

  3

• B．-

  5

  4

• C．-

  3

  5

• D．-

  5

  3

Answer 1

分析：化圓C的方程為（x-4）²+y²=1，求出圓心與半徑，由題意，只需（x-4）²+y²=4與直線y=kx+2有公共點即可．

解答：解：∵圓C的方程為x²+y²-8x+15=0，整理得：（x-4）²+y²=1，即圓C是以（4，0）為圓心，1為半徑的圓；
又直線y=kx+2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，
∴只需圓C^′：（x-4）²+y²=4與直線y=kx+2有公共點即可．
設圓心C（4，0）到直線y=kx+2的距離為d，
則d=

|4k+2|

1+k2

≤2，即3k²≤-4k，
∴-

4

3

≤k≤0．
∴k的最小值是-

4

3

．
故選A．

點評：本題考查直線與圓的位置關系，將條件轉化為“（x-4）²+y²=4與直線y=kx+2有公共點”是關鍵，考查學生靈活解決問題的能力，是中檔題．