Question

（2010•青浦區二模）[理科]觀察下列式子：1+

1

22

＜

3

2

，1+

1

22

+

1

32

＜

5

3

，1+

1

22

+

1

32

+

1

42

＜

7

4

，…，可以猜想結論為（　　）

• A．1+

  1

  22

  +

  1

  32

  +…+

  1

  n2

  ＜

  2n+1

  n

  (n∈N*)
• B．1+

  1

  22

  +

  1

  32

  +…+

  1

  (n+1)2

  ＜

  2n-1

  n

  (n∈N*)
• C．1+

  1

  22

  +

  1

  32

  +…+

  1

  (n+1)2

  ＜

  2n+1

  n+1

  (n∈N*)
• D．1+

  1

  22

  +

  1

  32

  +…+

  1

  n2

  ＜

  2n+1

  n+1

  (n∈N*)

Answer 1

分析：本題主要觀察項的變化，及分子分母的變化規律，利用不完全歸納法可以推理出答案．

解答：解：由題意知
   先觀察左邊的項的變化：1+

1

22

，1+

1

22

+

1

32

，1+

1

22

+

1

32

+

1

42

…
   發現后一項比前一項多了一項

1

(n+1)2

，
   故左邊的式子可以歸納推理為：1+

1

22

+

1

32

+…+

1

(n+1)2

；
  再觀察右邊的項的變化：

3

2

，

5

3

，

7

4

…
  發現分子是以通項為a_n=2n+1的等差數列，分母是以通項為a_n=n+1的等差數列
  故右邊的式子可以歸納推理為

2n+1

n+1

；
  綜上可知：1+

1

22

+

1

32

+…+

1

(n+1)2

＜

2n+1

n+1

(n∈N*) 
  故選C

點評：本題主要考查不完全歸納推理的能力，屬于基礎題型．