Question

若

0≤x≤ π 2 sinx≤y≤cosx

，z=x+2y，則z的取值范圍是

[0，

π

6

+

3

]

．

Answer 1

分析：作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得到如圖所示的陰影部分．將直線l：z=x+2y進行平移并加以觀察，可得當直線ly經(jīng)過原點時，z達到最小值0；當直線l與余弦曲線相切于點A時，z達到最大值，用導數(shù)求切線的方法算出A的坐標并代入目標函數(shù)，即可得到z的最大值．由此即可得到實數(shù)z的取值范圍．

解答：解：作出可行域如圖所示，可得直線l：z=x+2y與y軸交于點(0，

z

2

)．
觀察圖形，可得直線l：z=x+2y經(jīng)過原點時，z達到最小值0
直線l：z=x+2y與曲線y=cosx(0≤x≤

π

2

)相切于點A時，z達到最大值．
∵由y′=-sinx=-

1

2

得x=

π

6

，
∴代入函數(shù)表達式，可得A(

π

6

，

3

2

)，
由此可得z_max=

π

6

+2×

3

2

=

π

6

+

3

．
綜上所述，可得z的取值范圍為[0，

π

6

+

3

]．
故答案為：[0，

π

6

+

3

]

點評：本題給出約束條件，求目標函數(shù)z=x+2y的取值范圍．著重考查了簡單線性規(guī)劃和運用導數(shù)求函數(shù)圖象的切線的知識，屬于中檔題．