Question

（2010•眉山一模）已知函數f（x）=ax³+x²-x+1，（a＞0）．
（I）f（x）在（2，+∞）上是否存在單調遞增區間，證明你的結論．
（II）若f（x）在(

1

3

，+∞)上單調遞增，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先求導函數f′（x）=3ax²+2x-1，要使f（x）在（2，+∞）上是否存在單調遞增區間，即需要f′（x）在（2，+∞）上存在子區間使f′（x）＞0，根據a＞0，f′（x）=3ax²+2x-1是開口向上的拋物線，可證結論；
（II）令f′（x）=3ax²+2x-1=0，求得x1=

-1- 1+3a

3a

，x2=

-1+ 1+3a

3a

(x1＜x2)，可知f（x）在（-∞，x₁）上單調遞增，在（x₁，x₂）上單調遞減，在（x₂，+∞）上單調遞增，根據f（x）在(

1

3

，+∞)上單調遞增，可得x2≤

1

3

，從而可求實數a的取值范圍．

解答：解：（I）f′（x）=3ax²+2x-1
f（x）在（2，+∞）上是否存在單調遞增區間，即f′（x）在（2，+∞）上存在子區間使f′（x）＞0
∵a＞0，f′（x）=3ax²+2x-1是開口向上的拋物線
∴f′（x）在（2，+∞）上存在子區間使f′（x）＞0
∴f（x）在（2，+∞）上存在單調遞增區間；
（II）令f′（x）=3ax²+2x-1=0，∴x1=

-1- 1+3a

3a

，x2=

-1+ 1+3a

3a

(x1＜x2)
∵a＞0，∴f（x）在x₁處取極大值，在x₂處取極小值，
∴f（x）在（-∞，x₁）上單調遞增，在（x₁，x₂）上單調遞減，在（x₂，+∞）上單調遞增
∵f（x）在(

1

3

，+∞)上單調遞增，∴x2≤

1

3

∴

-1+ 1+3a

3a

≤ 

1

3

∴

1+3a

≤a+1
∴a²-a≥0
∵a＞0，∴a≥1
∴實數a的取值范圍是a≥1

點評：本題以函數為載體，考查函數的單調性，考查導數的運用，確定函數的單調性，建立不等式是解題的關鍵．