Question

函數f（x）=x²+ax-alnx
（1）a=1時，求函數f（x）的單調區間；
（2）a＞0時，求函數f（x）在[1，a]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）求函數的導數，利用導數研究函數的單調性和單調區間．
（2）利用導數研究函數的最大值．

解答：解：（1）a=1時，f（x）=x²+x-lnx，函數的定義域為（0，+∞），
f′(x)=2x+1-

1

x

=

2x2+x-1

x

=

(2x-1)(x+1)

x

           …（2分）
因為x＞0，由f'（x）＜0，則0＜x＜

1

2

；f'（x）＞0，則x＞

1

2

   …（3分）
故f（x）的減區間為（0，

1

2

），增區間為（

1

2

，+∞）                  …（4分）
（2）a＞1時，f（x）=x²+ax-alnx的定義域為（0，+∞），f′(x)=2x+a-

a

x

=

2x2+ax-a

x

，…（5分）
設g（x）=2x²+ax-a，則f′(x)=

g(x)

x

a＞1，其根判別式△=a²+8a＞0，
設方程g（x）=0的兩個不等實根x₁，x₂，x₁＜x₂，…（6分）
則 x1=

-a- △

4

，x2=

-a+ △

4

a＞1，顯然x₁0              …（7分）
當x∈（0，x₂），g（x）＜0，則f'（x）＜0，f（x）單調遞減               …（8分）
x∈（x₂，+∞），g（x）＞0，則f'（x）＞0，f（x）單調遞增             …（9分）
故f（x）在[1，a]上的最大值為f（1），f（a）的較大者                 …（10分）
設h（a）=f（a）-f（1）=2a²-aln?a-（1+a）=2a²-aln?a-a-1，其中a＞1
h'（a）=4a-lna-2，[h'（a）]'=4-

1

a

＞0，則h'（a）在（1，+∞）上是增函數，有h'（a）＞h'（1）=4-0-2＞0         …（12分）
h（a）在（1，+∞）上是增函數，有h（a）＞h（1）=2-1-1=0，…（13分）
即f（a）＞f（1），
所以a＞1時，函數f（x）在[1，a]上的最大值為f（a）=2a²-alna．…（14分）

點評：本題主要考查利用導數研究函數的單調性以及求函數的最值問題，考查學生的運算能力，綜合性較強，運算量較大．