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(2012•昌平區一模)(坐標系與參數方程選做題) 若直線l:x-
3
y=0
與曲線C:
x=a+
2
cos?
y=
2
sin?
(?為參數,a>0)有兩個公共點A,B,且|AB|=2,則實數a的值為
2
2
;在此條件下,以直角坐標系的原點為極點,x軸正方向為極軸建立坐標系,則曲線C的極坐標方程為
ρ2-4ρcosθ+2=0
ρ2-4ρcosθ+2=0
分析:利用同角三角函數的基本關系消去參數∅,化為普通方程為 (x-a)2+y2=2 ①,求出圓心C到直線的距離d,由弦長公式求得實數a的值;把x=ρcosθ,y=ρsinθ代入①化簡可得
曲線C的極坐標方程.
解答:解:由曲線C:
x=a+
2
cos?
y=
2
sin?
(?為參數,a>0),可得
2
cos∅=x-a,
2
sin∅=y,
平方相加可得 (x-a)2+y2=2 ①,表示以C(a,0)為圓心,以
2
為半徑的圓,
圓心C到直線l:x-
3
y=0
的距離等于d=
|a-
3
×0|
1+3
=
a
2
,
再由弦長公式可得
|AB|
2
=1=
r2-d2
=
2-
a2
4
,解得a=2.
①即 (x-2)2+y2=2 ②,
把x=ρcosθ,y=ρsinθ代入②,化簡可得 ρ2-4ρcosθ+2=0,
故答案為 2,ρ2-4ρcosθ+2=0.
點評:本題主要考查把參數方程化為普通方程的方法,點到直線的距離公式,把直角坐標方程化為極坐標方程,屬于基礎題.
練習冊系列答案
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a
=(2,1),
a
b
=10,|
a
+
b
|=7,則|
b
|=
2
6
2
6

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