Question

定義在R上的單調函數f（x）滿足f（x+y）=f（x）+f（y）且f（1）=2．
（1）求證：f（x）為奇函數；
（2）當t＞2時，不等式f（klog₂t）+f（log₂t-log²₂t-2）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）令x=y=0可求得f（0）=0，再令y=-x可求得f（-x）=-f（x），從而可證f（x）為奇函數；
（2）依題意知，奇函數f（x）是R上的單調遞增函數，不等式f（klog₂t）+f（log₂t-log²₂t-2）＜0恒成立?klog₂t＜log²₂t-log₂t+2在t＞2時恒成立，令m=log₂t則m＞1，問題轉化為研究km＜m²-m+2在m＞1時恒成立，構造函數g（m）=m²-（k+1）m+2，利用二次函數的單調性即可求得k的取值范圍．

解答：解：（1）令x=y=0得，f（0）=2f（0），
∴f（0）=0；
再令y=-x得f（0）=f（x）+f（-x），
∴f（-x）=-f（x），即f（x）為奇函數，
（2）∵f（0）=0，f（1）=2，且f（x）是R上的單調函數，
∴f（x）是R上的單調遞增函數，又f（x）為奇函數，
∴f（klog₂t）＜-f（log₂t-log²₂t-2）=f（log²₂t-log₂t+2），
∴klog₂t＜log²₂t-log₂t+2在t＞2時恒成立，
令m=log₂t則m＞1，即 km＜m²-m+2在m＞1時恒成立，
∴可化為m²-（k+1）m+2＞0在m＞1時恒成立，
設g（m）=m²-（k+1）m+2，
∵g（0）=2＞0，
則

k+1

2

＜0①或△=（k+1）²-8＜0②或

0＜ k+1 2 ≤1 g(1)≥0

③，
解①得k＜-1；
解②得-2

2

-1＜k＜2

2

-1；
解③得-1＜k≤1
綜上所述，k＜2

2

-1．
∴k的取值范圍為（-∞，2

2

-1）．

點評：本題考查抽象函數及其應用，考查函數奇偶性的判定與單調性的綜合應用，考查化歸思想、分類討論方程不等式思想的綜合應用，屬于難題．