Question

（2013•懷化二模）在平面直角坐標系中，橫坐標和縱坐標均為整數的點稱為格點，如果函數f（x）的圖象恰好通過k（k∈N^*）個格點，則稱函數f（x）為k階格點函數．給出下列4個函數：①f(x)=-cos(

π

2

-x)；②f(x)=(

1

3

)x；③f（x）=-log₂x；④f（x）=2π（x-3）²+5．其中是一階格點函數的是（　　）

A．①③

B．②③

C．③④

D．①④

Answer 1

分析：由定義對四個函數逐一驗證，找出只有一個整數點的函數即可，①中的函數圖象與橫軸交點都是整點；②中的函數只有當x=1時才是整點；③中的函數可以驗證橫坐標為，1，2，④中的函數只有當x=0時才能取到整點；⑤中的函數驗證x=0，x=2即可排除；

解答：解：①顯然點（0，0）在函數f(x)=-cos(

π

2

-x)=-sinx的圖象上，而且函數的格點只有最高點和最低點
以及圖象與x軸的交點處，但這些點的橫坐標都不是整點，故函數f(x)=-cos(

π

2

-x)是一階格點函數；
②函數f(x)=(

1

3

)x中，當x取負整數或者零時，都是整點，故函數f(x)=(

1

3

)x的格點有無數個，
故不是一階格點函數；
③函數f（x）=log₂x，顯然點（1，0）為其格點，當x=2n（n=0，1，2，），都是整點，
故函數f（x）=log₂x不是一階格點函數．
④函數f（x）=2π（x-3）²+5圖象上點（3，5）為整點，當x取x≠3的整數時，函數值都不是整數，
故函數f（x）=2π（x-3）²+5是一階格點函數；
故答案為D．

點評：本題考查新定義，求解此類題的關鍵是對新定義作出正確的理解，以及對所給的幾個函數的性質與圖象有著比較清晰的記憶．