Question

【題目】如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AB=BC，AD是BC邊上的高，AE是⊙O的直徑．

（1）求證：ACBC=ADAE；
（2）過點C作⊙O的切線交BA的延長線于點F，若AF=4，CF=6，求AC的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接BE，

∵AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圓的直徑，

∴∠ADC=∠ABE=90°，

∵∠C=∠E，

∴△ADC∽△ABE．

∴AC：AE=AD：AB，

∴ACAB=ADAE，

又AB=BC

故ACBC=ADAE

（2）解：∵FC是⊙O的切線，∴FC2=FAFB

又AF=4，CF=6，從而解得BF=9，AB=BF﹣AF=5

∵∠ACF=∠CBF，∠CFB=∠AFC，∴△AFC∽△CFB

∴

∴

【解析】（1）首先連接BE，由圓周角定理可得∠C=∠E，又由AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圓的直徑，可得∠ADC=∠ABE=90°，則可證得△ADC∽△ABE，然后由相似三角形的對應邊成比例，即可證得ACAB=ADAE；（2）證明△AFC∽△CFB，即可求AC的長．