Question

【題目】為了提高產品的年產量，某企業擬在2013年進行技術改革，經調查測算，產品當年的產量x萬件與投入技術改革費用m萬元（m≥0）滿足x=3﹣ （k為常數）．如果不搞技術改革，則該產品當年的產量只能是1萬件．已知2013年生產該產品的固定投入為8萬元，每生產1萬件該產品需要再投入16萬元．由于市場行情較好，廠家生產均能銷售出去，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品生產成本的1.5倍（生產成本包括固定投入和再投入兩部分資金）
（1）試確定k的值，并將2013年該產品的利潤y萬元表示為技術改革費用m萬元的函數（利潤=銷售金額﹣生產成本﹣技術改革費用）；
（2）該企業2013年的技術改革費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？并求出最大利潤．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可知，當m=0時，x=1（萬件）∴1=3﹣k，∴k=2，∴x=3﹣

∴每件產品的銷售價格為1.5× （元），

∴2013年的利潤y=x（1.5× ）﹣（8+16x）﹣m=28﹣m﹣ （m≥0）

（2）解：∵m≥0，∴y=28﹣m﹣28﹣m﹣ =29﹣[（m+1）+ ]≤ =21

當且僅當m+1= ，即m=3時，ymax=21．

∴該企業2013年的技術改革費用投入3萬元時，廠家的利潤最大，最大為21萬元

【解析】（1）首先根據題意令m=0代入x=3﹣ 求出常量k，這樣就得出了x與m的關系式，然后根據2013年固定收入加再投入資金求出總成本為8+16x，再除以2013的件數就可以得出2013年每件的成本，而每件的銷售價格是成本的1.5倍，從而得出了每件產品的銷售價格，然后用每件的銷售單價×銷售數量得到總銷售額．最后利用利潤=銷售金額﹣生產成本﹣技術改革費用得出利潤y的關系式．（2）根據基本不等式，求出y的最大值時m的取值即可．
【考點精析】利用基本不等式對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知基本不等式：,（當且僅當時取到等號）；變形公式：．