Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，PA⊥CD，PA=1，，E為PD上一點(diǎn)，PE=2ED．
（Ⅰ）（ⅰ）求證：PA⊥平面ABCD；
（ⅱ）在側(cè)棱PC上是否存在一點(diǎn)F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出F點(diǎn)的位置，并證明；若不存在，說(shuō)明理由；
（Ⅱ）求直線CE與平面PAD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）（ⅰ）由題目給出的邊的關(guān)系，利用勾股定理得到PA⊥AD，結(jié)合PA⊥CD，由線面垂直的判定得到結(jié)論；
（ⅱ）取PC中點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F在面PCD內(nèi)作CE的平行線FG，交PD于點(diǎn)G，可知G為PE的中點(diǎn)，連結(jié)BG后有BG∥OE，由兩面平行的判定可得面FBG∥面AEC，從而得到要證得結(jié)論；
（Ⅱ）由（ⅰ）知PA⊥面ABCD，則可證CD⊥面PAD，由此可得∠CED為直線CE與面PAD所成的角，通過(guò)解三角形可得直線CE與平面PAD所成角的正弦值．
解答：（Ⅰ）證明：如圖，
（ⅰ）因?yàn)镻A=AD=1，PD=，
所以PA²+AD²=PD²，即PA⊥AD．
又PA⊥CD，AD，CD相交于D，
所以PA⊥平面ABCD．
（ⅱ）當(dāng)點(diǎn)F為PC的中點(diǎn)時(shí)，滿足BF∥平面AEC．
證明如下：
因?yàn)镕為PC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F在面PCD內(nèi)作CE的平行線FG，交PD于點(diǎn)G，
連結(jié)BG，設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O，則有BG∥OE，F(xiàn)G∥CE，
因?yàn)镕G∩BG=G，且FG，BG不在平面AEC內(nèi)，所以面FBG∥面AEC，
因?yàn)锽F?面FBG，所以有BF∥平面AEC成立；
（Ⅱ）解：因?yàn)镃D⊥面PAD，所以CE在面PAD上的射影即為ED，
即∠CED為直線CE與面PAD所成的角，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124617567711030/SYS201310251246175677110019_DA/1.png">，CD=1，所以，
所以．
即直線CE與平面PAD所成角的正弦值為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與平面垂直的判定，考查了直線與平面平行的判定，考查了直線與平面所成的角，綜合考查了學(xué)生的空間想象能力和思維能力，解答的關(guān)鍵是創(chuàng)設(shè)判定定理成立的條件，是中檔題．