Question

設

a

，

b

，

c

 是空間任意的非零向量，且相互不共線，則以下命題中：
①（

a

?

b

）?

c

-（

c

?

a

 ）?

b

=0；②|

a

|+|

b

|＞|

a

-

b

|；③若存在唯一實數組λ，μ，γ 使γ

c

=λ

a

+μ

b

，則

a

，

b

，

c

共面；④|

a

-

b

|?|

c

|=|

a

c

-

b

c

|．真命題的個數是（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

分析：根據兩個向量數量積的運算，兩個向量的加減法及其幾何意義，逐一判斷各個選項是否正確，從而得出結論．

解答：解：由題意可得，

a

，

b

，

c

是空間任意的非零向量，且相互不共線．
由于（

a

•

b

）•

c

 表示與

c

共線的向量，而（

c

•

a

）•

b

表示與

b

共線的向量，故①（

a

•

b

）•

c

≠（

c

•

a

）•

b

，故①不正確．
根據三角形任意兩邊之和大于第三邊，而|

a

|、|

b

|、|

a

-

b

|可構成三角形的三個邊，∴②|

a

|+|

b

|＞|

a

-

b

|正確．
當

a

，

b

，

c

不共面時，則

a

，

b

，

c

中的任何一個向量沒有辦法用其它兩個向量表示，故③不正確．
由于|

a

-

b

|•|

c

|=

( a - b )2• c 2

，|

a

c

-

b

c

|=

( a • c - b • c )2

=

( a - b )2• c 2

，故④正確．
故選：C．

點評：本題主要考查兩個向量數量積的運算，兩個向量的加減法及其幾何意義，屬于中檔題．