Question

如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是側棱CC₁上的一點，CP=m．
（1）試確定m，使直線AP與平面BDD₁B₁所成角的正切值為；
（2）在線段A₁C₁上是否存在一個定點Q，使得對任意的m，D₁Q在平面APD₁上的射影垂直于AP，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）連AC，設AC與BD相交于點O，AP與平面BDD₁B₁相交于點，連接OG，證明AO⊥平面BDD₁B₁，說明∠AGO是AP與平面BDD₁B₁所成的角．在Rt△AOG中，利用直線AP與平面BDD₁B₁所成的角的正切值為．求出m的值．
（2）點Q應當是A_IC_I的中點，使得對任意的m，D₁Q在平面APD₁上的射影垂直于AP，通過證明 D₁O₁⊥平面ACC₁A₁，D₁O₁⊥AP．利用三垂線定理推出結論．
解答：解：（1）連AC，設AC與BD相交于點O，AP與平面BDD₁B₁相交于點G，
連接OG，因為PC∥平面BDD₁B₁，平面BDD₁B₁∩平面APC=OG，
故OG∥PC，所以，OG=PC=．
又AO⊥BD，AO⊥BB₁，所以AO⊥平面BDD₁B₁，
故∠AGO是AP與平面BDD₁B₁所成的角．
在Rt△AOG中，tan∠AGO=，即m=．
所以，當m=時，直線AP與平面BDD₁B₁所成的角的正切值為．
（2）可以推測，點Q應當是A_IC_I的中點，當是中點時
因為D₁O₁⊥A₁C₁，且 D₁O₁⊥A₁A，A₁C₁∩A₁A=A₁，
所以 D₁O₁⊥平面ACC₁A₁，
又AP?平面ACC₁A₁，故 D₁O₁⊥AP．
那么根據三垂線定理知，D₁O₁在平面APD₁的射影與AP垂直．
點評：本題考查直線與平面所成的角，考查直線與平面垂直的判定，三垂線定理的應用，考查空間想象能力，邏輯推理能力．