Question

如圖，菱形ABCD的邊長為2，△BCD為正三角形，現將△BCD沿BD向上折起，折起后的點C記為C′，且CC′=

3

，連接CC′．
（Ⅰ）若E為CC′的中點，證明：AC′∥平面BDE；
（Ⅱ）求三棱錐C′-ABD的體積．

Answer 1

分析：（I）連接AC，交BD于點O，連接OE、OC，可得OE∥AC′，再由線面平行的判定定理證明AC′∥平面BDE；
（II）在△C′AC內，過C′作C′H⊥AC于H，可證C′H⊥平面BCD，求得C′H與S_△BCD，根據V_C′-ABD=V_C′-BCD計算可得答案．

解答：解：（Ⅰ）連接AC，交BD于點O，連接OE、OC，
∵ABCD為菱形，∴O為AC的中點．
又∵E為CC′的中點，∴OE∥AC′
又AC′?平面BDE，OE?平面BDE，
∴AC′∥平面BDE．
（Ⅱ）在△C′AC內，過C′作C′H⊥AC于H，在菱形ABCD中，BD⊥CO，又△BCD沿BD折起，
∴BD⊥C′O，∵CO∩OC′=O，
∴BD⊥平面CC′O，∴BD⊥C′H，
又AC∩BD=O，∴C′H⊥平面BCD，
∵CC′=OC=OC′=

3

，∴C′H=

3

2

，
∴V_C′-ABD=V_C′-BCD=

1

3

×S_△BCD×C′H=

1

3

×

1

2

×2×

3

×

3

2

=

3

2

．

點評：本題考查了線面平行的判定，考查了三棱錐的體積計算，考查了學生的空間想象能力與運算能力．