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在古希臘，畢達哥拉斯學派把1，3，6，10，15，21，28，…，這些數叫做三角形數，其通項為數學公式，前n項和為數學公式，如下圖所示，有一列三角形數表，其位于三角形的三邊及平行于某邊的任一直線上的數（當數的個數不少于3時）都分別依次成等差數列，依次記各三角形數表中的所有數之和為an，則數學公式．
（1）求a3，a4，并寫出an的表達式；
（2）令bn=數學公式，證明2n＜b1+b2+b3+…+bn＜2n+2（n∈N*）．

解：（1）∵，
∴a3=．
（2），，
而，
∴2n＜b1+b2+b3++bn＜2n+2
分析：（1）由a1，a2可得a3=．
（2）由，知b1+b2+b3+…+bn=，由此知2n＜b1+b2+b3++bn＜2n+2．
點評：本題考查數列的性質和應用及數列和不等式的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

在古希臘，畢達哥拉斯學派把1，3，6，10，15，21，28，…這些數叫做三角形數，這是因為這些數目的點可以排成一個正三角形（如圖）．
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試問三角形數的一般表達式為（　　）
A、n
B、
1
2
n（n+1）
C、n2-1
D、
1
2
n（n-1）

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科目：高中數學 來源： 題型：

在古希臘，畢達哥拉斯學派把1，3，6，10，15，21，28，…，這些數叫做三角形數，其通項為
n(n+1)
2
，前n項和為sn=
n(n+1)(n+2)
6
，如下圖所示，有一列三角形數表，其位于三角形的三邊及平行于某邊的任一直線上的數（當數的個數不少于3時）都分別依次成等差數列，依次記各三角形數表中的所有數之和為an，則a1=
0+2+6
4
=
2(1+3)
4
=2，a2=
0+3+9+18
9
=
3(1+3+6)
9
=
10
3
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（1）求a3，a4，并寫出an的表達式；
（2）令bn=
an
an+1
+
an+1
an
，證明2n＜b1+b2+b3+…+bn＜2n+2（n∈N*）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在古希臘，畢達哥拉斯學派把1，3，6，10，15，21，28，…這些數叫做三角形數，因為這些數對應的點可以排成一個正三角形，則第n個三角形數為（　　）
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A、n
B、
n(n+1)
2
C、n2-1
D、
n(n-1)
2

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科目：高中數學 來源： 題型：

在古希臘，畢達哥拉斯把1,3,6,10,15,21,28，…這些數叫做三角形數，這是因為這些數目的點子可以排成一個正三角形（如圖）.

試問三角形數的一般表達式為（    ）

A.n              B.           C.n2-1           D.

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科目：高中數學 來源：2014屆陜西省渭南市高二下期末考試文科數學卷（解析版） 題型：選擇題

在古希臘，畢達哥拉斯學派把1，3，6，10，15，……這些數叫做三角形數，因為這些數目的石子可以排成一個正三角形（如下圖）則第八個三角形數是  (   )

A．35               B．36               C．37               D．38

 

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