Question

直線與橢圓相交于，兩點，為坐標原點.

（Ⅰ）當點的坐標為，且四邊形為菱形時，求的長；

（Ⅱ）當點在上且不是的頂點時，證明：四邊形不可能為菱形.

 

Answer 1

【答案】

 利用橢圓的對稱性，結合圖形完成第(I)小題.設出直線方程，把直線方程和橢圓方程聯立，設而不求，結合菱形的特點進行判斷.

【解析】 (I) 橢圓W：的右頂點，因為四邊形OABC為菱形，所以和互相垂直平分.

所以可設，代入橢圓方程得，解得.

所以菱形OABC的面積為.

(II)假設四邊形OABC為菱形.

因為點B不是W的頂點，且直線AC不過原點，所以可設AC的方程為y=kx+m,k≠0,m≠0..

由消去y并整理得.

設,則，，

所以AC的中點.

因為M為AC和OB的交點，所以直線OB的斜率為.

因為，所以AC和OB不垂直.

所以四邊形OABC不是菱形，與假設矛盾.

所以當B不是W的頂點，四邊形OABC不可能是菱形.

【考點定位】本題考查了橢圓的性質和直線與橢圓的位置關系.通過整體代換，設而不求，考查了數據處理能力和整體思想的應用.