Question

已知函數f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中）的圖象與x軸的交點中，相鄰兩個交點之間的距離為，且圖象上一個最低點為．
（1）求f（x）的解析式；
（2）用五點作圖法做出f（x）的圖象
（3）說明y=f（x）的圖象是由y=sinx的圖象經過怎樣的變換得到？
（4）求函數的單調遞減區間
（5）當，求f（x）的值域．

Answer 1

解：（1）由題意可知，T=，A=2，ω=，
∵，∴φ=+2kπ，k∈Z，∵
∴φ=
所以函數：f（x）=2sin（2x+）．
（2）f（x）=2sin（2x+）．
列表


（3）將由y=sinx的圖象向左平移 ，得到函數y=sin（x+）
再橫坐標縮小到原來的 倍，縱坐標不變得到函數y=sin（2x+）
再橫坐標不變，縱坐標變為原來的倍得到y=2sin（2x+）．
（4）∵正弦函數的單調遞減區間為[2kπ-，2kπ-]，
∴2kπ-≤2x+≤-+2kπ，
解得kπ-≤x≤kπ-，k∈Z；
（5）當，2x+∈，2sin（2x+）∈[-1，2]，所以f（x）的值域為：[-1，2]．
分析：（1）直接求出函數的周期T，A以及ω，通過函數經過的特殊點求出φ，得到函數的解析式；
（2）根據函數的解析式，通過列表，描點，連線畫出函數的圖象．
（3）利用圖象平移的規律：左加右減，加減的單位是自變量x的變化的單位；圖象伸縮變換的規律：橫坐標變為坐標系x乘的數的倒數；縱坐標變為三角函數前面乘的數倍．
（4）找出正弦函數的一個遞減區間，令2x+屬于這個區間列出關于x的不等式，再由x的范圍求出不等式的解集，即為函數的單調遞減區間．
（5）根據x的范圍，求出2x+的范圍，然后求出函數值的范圍．
點評：本題是中檔題，考查三角函數的解析式的求法，五點法作圖，函數的單調性的應用，函數圖象的平移伸縮變換，函數的最值，可以說一題概括三角函數的基本知識的靈活應用，考查計算能力．