Question

給出下列四個命題：
①若|

a

|+|

b

|=0，則

a

=

b

=

0

；
②在△ABC中，若

OA

+

OB

+

OC

=

0

，則O為△ABC的重心；
③若

a

，

b

是共線向量，則

a

•

b

=|

a

|•|

b

|，反之也成立；
④若

a

，

b

是非零向量，則

a

+

b

=

0

的充要條件是存在非零向量

c

，使

a

•

c

+

b

•

c

=

0

．
其中，正確命題的個數是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

證明：①若|

a

|+|

b

|=0，則|

a

|=|

b

|=0，則

a

=

b

=

0

；
正確；
對于②：如圖，延長AO到E，
使OE=AO，交BC于F，
則

OE

=-

OA

．
而由

OA

+

OB

+

OC

=0，
有

OB

+

OC

=-

OA

，∴

OB

+

OC

=

OE

，
∴四邊形OBEC為平行四邊形．
∴OE平分BC，即AO所在的直線為△ABC的邊BC上的中線．
同理可證，CO，BO所在的直線分別為AB，AC邊上的中線．∴O為△ABC的重心．正確；
對于③：若

a

，

b

是共線向量，則它們的夾角θ為0或π，則

a

•

b

=|

a

|•|

b

|cosθ=±|

a

|•|

b

|，故③錯；
④若

a

，

b

是非零向量，若存在非零向量

c

，使

a

•

c

+

b

•

c

=（

a

+

b

）•

c

=0，說明向量（

a

+

b

）與

c

垂直，并不能得出

a

+

b

=

0

，故錯．
故選B．