Question

已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F₁、F₂在坐標(biāo)軸上，離心率為2，且過點(diǎn)(4，-).

(１)求此雙曲線方程；

(2)若直線系kx-y-3k+m=0(其中k為參數(shù))所過的定點(diǎn)M恰在雙曲線上，求證：

F₁M⊥F₂M.

Answer 1

(1)解析:e²=

∴.

可設(shè)雙曲線方程為x²-y²=

∵點(diǎn)(4,-)

在雙曲線上，∴=4²-10=6

因此所求雙曲線方程為x²-y²=6

(2)證明:直線系k(x-3)+(m-y)=0過的定點(diǎn)M(3，m)在雙曲線上，

∴3²-m²=6.

∴m=.?

∴M(3,±).?

又雙曲線焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁(-2,0)、F₂(2,0)

∴k_F1M·k_F2M=-1.

∴F₁M⊥F₂M.