Question

已知函數f（x）=ax+b，當x∈[a₁，b₁]時，f（x）的值域為[a₂，b₂]，當x∈[a₂，b₂]時，f（x）的值域為[a₃，b₃]，…當x∈[a_n-1，b_n-1]時，f（x）的值域為[a_n，b_n]，其中a，b為常數，a₁=0，b₁=1．
（Ⅰ）a=1時，求數列{a_n}與{b_n}的通項；
（Ⅱ）設a＞0且a≠1，若數列{b_n}是公比不為1的等比數列，求b的值；
（Ⅲ）若a＞0，設{a_n}與{b_n}的前n項和分別記為S_n與T_n，求（T₁+T₁+…+T_n）-（S₁+S₂+…+S_n）的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當a=1時，數列{a_n}與{b_n}的都是公差為b的等差數列，根據a₁=0，b₁=1可求出數列的通項公式；
（Ⅱ）根據題意，易得

bn

bn-1

=a+

b

bn-1

，要使數列{b_n}是公比不為1的等比數列則

bn

bn-1

為常數，從而求出b；
（Ⅲ）由（Ⅰ）的結論易得b_n-a_n=a（b_n-1-a_n-1），可得{b_n-a_n}成等比數列，且公比為a，又由b₁-a₁=1，可得b_n-a_n=a^n-1，
而T_n-S_n=（b₁+b₂+…+b_n）-（a₁+a₂+…+a_n）=（b₁-a₁）+（b₂-a₂）+…+（b_n-a_n），分a是否為1，討論可得T_n-S_n的值，進而可得答案．

解答：解：（I）∵a=1，∴函數f（x）=ax+b在R上是增函數，
∴a_n=a•a_n-1+b=a_n-1+b，b_n=a•b_n-1+b=b_n-1+b，（n≥2），
則數列{a_n}與{b_n}都是公差為b的等差數列，
∵a₁=0，b₁=1，∴a_n=（n-1）b，b_n=1+（n-1）b．
（Ⅱ）∵a＞0，b_n=a•b_n-1+b，
∴

bn

bn-1

=a+

b

bn-1

；
由{b_n}是等比數列，知

b

bn-1

應為常數．
{b_n}是公比不為1的等比數列，則b_n-1不是常數，
必有b=0．
（Ⅲ）∵a＞0，a_n=a•a_n-1+b，b_n=a•b_n-1+b，
兩式相減，得b_n-a_n=a（b_n-1-a_n-1），
∴{b_n-a_n}成等比數列，公比為a，b₁-a₁=1，
∴b_n-a_n=a^n-1．
T_n-S_n=（b₁+b₂+…+b_n）-（a₁+a₂+…+a_n）=（b₁-a₁）+（b₂-a₂）+…+（b_n-a_n）=

n(a=1) 1-an 1-a (a＞0，a≠1)

∴（T₁+T₁+…+T_n）-（S₁+S₂+…+S_n）=（T₁-S₁）+（T₂-S₂）+…+（T_n-S_n）=

n(n+1) 2 (a=1) an+1-(n+1)a+n (1-a)2 (a≠1)

點評：本題綜合考查數列與函數，涉及等比數列的性質與數列的求和，（Ⅲ）中求和時，注意要分類討論．