Question

已知數列{a_n}是等差數列，a₂=6，a₅=12；數列{b_n}的前n項和是{S_n}，且S_n+

1

2

b_n=1．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求證：數列{b_n}是等比數列；
（3）記c_n=

-2

an•log3 bn 2

，{c_n}的前n項和為T_n，若T_n＜

m-2010

2

對一切n∈N^*都成立，求最小正整數m．

Answer 1

分析：（1）由數列{a_n}是等差數列，a₂=6，a₅=12，利用等差數列的通項公式列出方程組，求出它的首項和公差，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（2）由數列{b_n}的前n項和是{S_n}，且S_n+

1

2

b_n=1，當n=1時，解得b1=

2

3

．當n≥2時推導出bn=

1

2

(bn-1-bn)，由此能夠證明{b_n}是公比的等比數列．
（3）由b_n=

2

3

•(

1

3

)n-1=2•（

1

3

）ⁿ，知C_n=

-2

an•log3 bn 2

=

1

n

-

1

n+1

，由此利用裂項求和法得到T_n=1-

1

n+1

＜1．由T_n＜

m-2010

2

對一切n∈N^*都成立，知

m-2010

2

≥1．由此以能求出最小正整數m的值．

解答：（1）解：∵數列{a_n}是等差數列，a₂=6，a₅=12，
∴

a1+d=6 a1+4d=12

，解得a₁=4，d=2，
∴a_n=4+2（n-1）=2n+2．
（2）證明：∵數列{b_n}的前n項和是{S_n}，且S_n+

1

2

b_n=1，
∴當n=1時，S1+

1

2

b1=1，解得b1=

2

3

．
當n≥2時，∵S_n=1-

1

2

bn，S_n-1=1-

1

2

bn-1，
∴S_n-S_n-1=

1

2

(bn-1-bn)，即bn=

1

2

(bn-1-bn)，
∴bn =

1

3

bn-1．
∴{b_n}是以

2

3

為首項，

1

3

為公比的等比數列．
（3）解：由（2）知，b_n=

2

3

•(

1

3

)n-1=2•（

1

3

）ⁿ，
∴C_n=

-2

an•log3 bn 2

=

-2

(2n+2)log3( 1 3 )n

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]
=1-

1

n+1

＜1．
∵T_n＜

m-2010

2

對一切n∈N^*都成立，
∴

m-2010

2

≥1．∴m≥2012，
∴最小正整數m的值為2012．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查等比數列的證明，考查最小正整數的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意構造法和裂項求和法的合理運用．