Question

如圖，拋物線C₁：x²=2py（p＞0）的焦點為F，橢圓C₂：（a＞b＞0）的離心率e=，C₁與C₂在第一象限的交點為P（）
（1）求拋物線C₁及橢圓C₂的方程；
（2）已知直線l：y=kx+t（k≠0，t＞0）與橢圓C₂交于不同兩點A、B，點M滿足，直線FM的斜率為k₁，試證明k•k₁＞．

Answer 1

【答案】分析：（1）借助于拋物線過點P，先求拋物線方程，再利用離心率e=，求橢圓方程；
（2）點M滿足，等價于點M為線段AB的中點，從而表達出斜率，再進行證明．
解答：解：（1）將P（）代入x²=2py得p=3，∴拋物線C₁的方程為x²=6y，焦點F（0，）
把P（）代入得，又e=，∴a=2，b=1故橢圓C₂的方程為
（2）由直線l：y=kx+t與聯立得（1+4k²）x²+8ktx+4（t²-1）=0，△＞0得1+4k²＞t²
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則
由題意點M為線段AB的中點，設M（x_M，y_M），
∴，
∴∴=
點評：本題主要考查圓錐曲線相交，求圓錐曲線問題，利用了待定系數法，同時考查了直線與曲線相交問題，利用設而不求法進行證明．