Question

已知函數f（x）=cos²x-sin²x+2sinxcosx
（1）求f（x）的最小正周期和單調遞增區間；
（2）求f（x）在[-

π

4

，

π

4

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）將f（x）解析式前兩項利用二倍角的余弦函數公式化簡，第三項利用二倍角的正弦函數公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，找出ω的值，代入周期公式即可求出f（x）的最小正周期，由正弦函數的遞增區間為[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，k∈Z，列出關于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）的遞增區間；
（2）由x的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數的圖象與性質即可得出f（x）的值域．

解答：解：（1）f（x）=cos²x-sin²x+2sinxcosx
=cos2x+sin2x=

2

sin（2x+

π

4

），
∵ω=2，∴T=π，
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，解得：kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，k∈Z，
則f（x）的遞增區間為[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈Z；
（2）∵-

π

4

≤x≤

π

4

，∴-

π

4

≤2x+

π

4

≤

3π

4

，
∴

2

2

≤sin（2x+

π

4

）≤1，
則f（x）的值域為[-1，

2

]．

點評：此題考查了三角函數的周期性及其求法，二倍角的正弦、余弦函數公式，兩角和與差的正弦函數公式，正弦函數的單調性，以及正弦函數的定義域與值域，熟練掌握公式是解本題的關鍵．