Question

17、（1）比5000小且沒有重復數字的自然數有多少個？
（2）由1到9這9個數字中每次選出5個數字組成無重復數字的5位數，
①其中奇數位置上的數字只能是奇數，，問有多少個這樣的5位數？
②其中奇數只能在奇數位置上，問又有多少個這樣的5位數？

Answer 1

分析：（1）本題是一個分類計數問題．4位數有4A₉³，3位數有9A₉²，2位數有9×9個，1位數有10個，利用加法原理得到結果．
（2）①由題意知本題是一個分步計數問題，在奇數位上排列3個奇數有A₅³，再在剩余兩位上排其他6個數中的2個有A₆²．
②在兩個偶數位上排4個偶數中的2個有A₄²，再在剩余三位上排其他7個數中的7個有A₇³，根據乘法原理得到結果．

解答：解：（1）由題意知 本題是一個分類計數問題．
4位數有：4A₉³=2016個
3位數有：9A₉²=648個
2位數有：9×9=81個
1位數有：10個
所以比5000小且沒有重復數字的自然數有10+81+648+2016=2755個
（2）由題意知本題是一個分步計數問題，
①在奇數位上排列3個奇數，有A₅³
再在剩余兩位上排其他6個數中的2個有A₆²
共A₃⁵×A₂⁶=1800
②在兩個偶數位上排4個偶數中的2個有A₄²
再在剩余三位上排其他7個數中的7個有A₇³
A₂⁴×A₃⁷=2520

點評：本題考查計數原理，包括加法和乘法原理，本題解題的關鍵是分清題目中所給的條件，是分類還是分步，注意做到不重不漏．