Question

對于函數f（x）定義域中任意的x₁，x₂（x₁≠x₂），有如下結論：當f（x）=lnx時，上述結論中正確結論的序號是

②④

．
①f（x₁+x₂）=f（x₁）f（x₂），
②f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂），
③

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0，
④f（

x1+x2

2

）＞

f(x1)+f(x2)

2

．

Answer 1

分析：利用對數的基本運算性質進行檢驗：①f（x₁+x₂）=ln（x₁+x₂）≠f（x₁）f（x₂）=lnx₁•lnx₂；
②f（x₁•x₂）=lnx₁x₂=lnx₁+lnx₂=f（x₁）+f（x₂）；
③f（x）=lnx在（0，+∞）單調遞增，可得

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0；
④由基本不等式可得出f（

x1+x2

2

）＞

f(x1)+f(x2)

2

；

解答：解：①∵f（x）=lnx，∴f（x₁+x₂）=ln（x₁+x₂），f（x₁）f（x₂）=lnx₁•lnx₂，
∴f（x₁+x₂）≠f（x₁）f（x₂），命題錯誤；
②∵f（x₁•x₂）=lg（x₁x₂）=lnx₁+lnx₂，f（x₁）+f（x₂）=lnx₁+lnx₂，∴f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂），命題正確；
③f（x）=lnx在（0，+∞）上單調遞增，則對任意的0＜x₁＜x₂，都有f（x₁）＜f（x₂），即

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，∴命題錯誤；
④f（

x1+x2

2

）-

f(x1)+f(x2)

2

=ln

x1+x2

2

-

lnx1+lnx2

2

=ln

x1+x2

2

-ln

x1x2

；
∵x₁，x₂∈（0，+∞）（且x₁≠x₂），∴

x1+x2

2

＞

x1x2

，又f（x）在（0，+∞）上單調遞增，∴ln

x1+x2

2

＞ln

x1x2

，∴f（

x1+x2

2

）＞

f(x1)+f(x2)

2

，命題正確；
故答案為：②④

點評：本題考查了對數的基本運算性質，對數函數單調性的應用與基本不等式的應用，是知識的簡單綜合應用問題．