Question

已知函數f(x)=

2

sin(x+φ)[sin(x+φ)+cos(x+φ)]-

2

2

（0＜φ＜π），若f(x)=f(

π

3

-x)對x∈R恒成立，且f(

π

2

)＞f(π)．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）當x∈[-

π

12

，

π

2

]時，求y=f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（1）通過多項式乘法展開．利用二倍角公式以及兩角和與差的三角函數化簡函數的表達式為一個角的一個三角函數的形式，利用函數的對稱軸，求出變量可求y=f（x）的解析式；
（2）通過x∈[-

π

12

，

π

2

]，求出相位的范圍，利用正弦函數的最值直接求解求y=f（x）的單調區間．

解答：解：（1）f(x)=

2

cos(x+φ)sin(x+φ)+

2

sin2(x+φ)-

2

2

=

2

2

sin(2x+2φ)+

2

2

[1-cos(2x+2φ)]-

2

2

=sin(2x+2φ-

π

4

)
又由f(x)=f(

π

3

-x)，可知x=

π

6

為函數的對稱軸
則2×

π

6

+2φ-

π

4

=kπ+

π

2

，φ=

kπ

2

+

5π

24

，k∈Z，
由（0＜φ＜π），可知φ=

5π

24

或φ=

17π

24

又由f(

π

2

)＞f(π)，可知-sin(2φ-

π

4

)＞sin(2φ-

π

4

)，
可得sin(2φ-

π

4

)＜0
驗證φ=

5π

24

或φ=

17π

24

，
則φ=

17π

24

，所以y=f(x)=-sin(2x+

π

6

)
（2）當x∈[-

π

12

，

π

2

]，2x+

π

6

∈[0，

7π

6

]
若2x+

π

6

∈[0，

π

2

]，即x∈[-

π

12

，

π

6

]時，y=f（x）單減．
若2x+

π

6

∈[

π

2

，

7π

6

]，即x∈[

π

6

，

π

2

]時，y=f（x）單增．

點評：本題考查三角函數解析式的求法，函數的單調性的判斷求解，考查計算能力．