Question

已知函數f(x)=

a•2x

2x+ 2

的圖象過點(0，

2

-1)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）為y=f（x）的圖象上兩個不同點，又點P（x_P，y_P）滿足：

OP

=

1

2

(

OP1

+

OP2

)，其中O為坐標原點．試問：當xP=

1

2

時，y_P是否為定值？若是，求出y_P的值，若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意知

a

1+ 2

=

2

-1，解得a=1，由此能求出f（x）的解析式．
（2）

1

2

=xP=

1

2

(x1+x2)⇒x1+x2=1⇒x2=1-x1，由此能夠推導出y_p為定值

1

2

．

解答：解：（1）由題意知

a

1+ 2

=

2

-1，
解得a=1，
∴f(x)=

2x

2x+ 2

；
（2）

1

2

=xP=

1

2

(x1+x2)⇒x1+x2=1⇒x2=1-x1yP=

1

2

(y1+y2)=

1

2

(

2x1

2x1+ 2

+

2x2

2x2+ 2

)=

1

2

(

2x1

2x1+ 2

+

21-x1

21-x1+ 2

)
=

1

2

(

2x1

2x1+ 2

+

2

2+ 2 •2x1

)=

1

2

(

2x1

2x1+ 2

+

2

2 +2x1

)
=

1

2

•1=

1

2

，
∴y_p為定值

1

2

．

點評：本題考查函數解析式的常用解法，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．