Question

已知點A,B分別是射線l₁:y=x(x≥0),l₂:y=-x(x≥0)上的動點,O為坐標原點,且△OAB的面積為定值2.

(1)求線段AB中點M的軌跡C的方程;

(2)過點N(0,2)作直線l,與曲線C交于不同的兩點P,Q,與射線l₁,l₂分別交于點R,S,若點P,Q恰為線段RS的兩個三等分點,求此時直線l的方程.

Answer 1

解:(1)由題意可設A(x₁,x₁),B(x₂,-x₂),M(x,y),其中x₁＞0,x₂＞0,

則    

∵△OAB的面積為定值2,

∴S_△OAB=|OA|·|OB|=(x₁)(x₂)=x₁x₂=2.

①²-②²,消去x₁,x₂,得x²-y²=2.

由于x₁＞0,x₂＞0,∴x＞0.

∴點M的軌跡方程為x²-y²=2(x＞0).

(2)依題意,直線l的斜率存在,設直線l的方程為y=kx+2.

由消去y得(1-k²)x²-4kx-6=0,

設點P、Q、R、S的橫坐標分別是x_P、x_Q、x_R、x_S,

∴由x_P,x_Q＞0得0.

解之,得-＜k＜-1.

∴|x_P-x_Q|=.

由消去y,得x_R=,

由消去y,得x_S=,

∴|x_R-x_S|=.

由于P,Q為RS的三等分點,∴|x_R-x_S|=3|x_P-x_Q|.

解之,得k=.

經檢驗,此時P,Q恰為RS的三等分點,故所求直線方程為y=x+2.