Question

已知函數f（x）=ax³+bx²+cx+d的單調遞減區間是（-1，3），且在x=1處的切線方程為：12x+y-13=0．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求函數f（x）在區間[-4，4]上的最值；
（3）若過點（0，m）有且只有一條直線與f（x）相切，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可知f'（x）=0的兩個根為-1和3，利用根與系數的關系建立等式，以及導數的幾何意義知在x=1處的導數等于切線的斜率，切點在函數f（x）的圖象上，建立方程組，解之即可求出函數f（x）的解析式；
（2）根據（1）得到f'（x）=0的兩個根為-1和3，求出f（-4），f（-1），f（3），f（4），比較大小，即可求得函數f（x）在區間[-4，4]上的最值；
（3）設切點為（t，f（t）），則k=f'（t），再結合兩點間斜率公式，即可得到g（t）=2t³-3t²+m-12=0只有一解，轉化成求根的存在性問題，求解即可得到m的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=ax³+bx²+cx+d
∴f'（x）=3ax²+2bx+c，
∵f（x）=ax³+bx²+cx+d的單調遞減區間是（-1，3），
∴f'（x）=3ax²+2bx+c＜0的解集為（-1，3），
∴f'（x）=0的兩個根為-1和3，
∴

3a＞0 -1+3=- 2b 3a -1×3= c 3a

，①
∵f（x）在x=1處的切線方程為：12x+y-13=0，
∴

f′(1)=3a+2b+c=-12 f(1)=a+b+c+d=1

，②
由①②，可得a=1，b=-3，c=-9，d=12，
∴f（x）=x³-3x²-9x+12；
（2）由（1）得到f'（x）=0的兩個根為-1和3，
∴f（-4）=-64，f（-1）=17，f（3）=-15，f（4）=-8，
∴函數f（x）在區間[-4，4]上的最小值為-64，最大值為17；
（3）∵f（x）=x³-3x²-9x+12，
∴f′（x）=3x²-6x-9，
設切點為（t，f（t）），
則切線的斜率k=f′（t）=3t²-6t-9，
又切線過點（0，m），則由兩點間斜率公式，可得k=

f(t)-m

t

，
∴3t²-6t-9=

f(t)-m

t

，即g（t）=2t³-3t²+m-12=0只有一個解，
∵g′（t）=6t²-6t=6t（t-1），
令g′（t）=0，可得t=0或t=1，
當t∈（-∞，0）和（1，+∞）時，g′（t）＞0，即g（t）在（-∞，0）和（1，+∞）上單調遞增，
當t∈（0，1）時，g′（t）＜0，即g（t）在（0，1）上單調遞減，
∴當t=0時，g（t）取得極大值g（0）=m-12，當t=1時，g（t）取得極小值g（1）=m-13，
∵g（t）=2t³-3t²+m-12=0只有一個解，
∴m-12＜0或m-13＞0，解得m＜12或m＞13，
∴m的取值范圍為m＜12或m＞13．

點評：本題考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及根與系數關系等基礎題知識，考查了利用導數研究函數在閉區間上的最值問題，一般求出導函數對應方程的根的函數值與區間端點的函數值比較大小即可得最值．同時考查到了方程有解問題，一般選用參變量分離法、數形結合法解決．屬于中檔題．