Question

圓C的方程為（x-2）²+y²=4，圓M的方程為（x-2-5cosθ）²+（y-5sinθ）²=1（θ∈R），過圓M上任意一點P作圓C的兩條切線PE、PF，切點分別為E、F，則

PE

•

PF

的最小值為

 

．

Answer 1

分析：由兩圓的圓心距|CM|=5大于兩圓的半徑之和可得兩圓相離，如圖所示，則

PE

•

PF

的最小值是

HE

•

HF

，利用兩個向量的數量積的定義求出

HE

•

HF

的值，即為所求．

解答：解：（x-2）²+y²=4的圓心C（2，0），半徑等于2，圓M （x-2-5sinθ）²+（y-5cosθ）²=1，
圓心M（2+5sinθ，5cosθ），半徑等于1．
∵|CM|=

(5sinθ)2+(5cosθ)2

=5＞2+1，故兩圓相離．
∵

PE

•

PF

=|

PE

|•

|PF|

•cos∠EPF，要使 

PE

•

PF

最小，需 |

PE

| 和

|PF|

最小，且cos∠EPF 最大，
如圖所示，設直線CM 和圓M 交于H、G兩點，則

PE

•

PF

的最小值是

HE

•

HF

．
|H C|=|CM|-1=5-1=4，|H E|=

|HC|2-|CE|2

=

16-4

=2

3

，sin∠CHE=

|CE|

|CH|

=

1

2

，
∴cos∠EHF=cos2∠MHE=1-2sin²∠MHE=

1

2

，
∴

HE

•

HF

=|H E|•|H E|•cos∠EHF=2

3

×2

3

×

1

2

=6，
故答案為：6．

點評：本題考查兩圓的位置關系，兩圓的切線，兩個向量的數量積的定義，二倍角的余弦公式，體現了數形結合的數學思想，判斷

PE

•

PF

的最小值是

HE

•

HF

，是解題的關鍵．考查分析解決問題的能力和運算能力，屬難題．