Question

已知函數f（x）=loga(x+

1+x2

)（x∈R，a＞0，a≠1）．
（Ⅰ）判斷f（x）奇偶性；
（Ⅱ）若g（x）圖象與曲線y=f（x）（x≥

3

4

）關于y=x對稱，求g（x）的解析式及定義域；
（Ⅲ）若g（x）＜

5m-5-m

2

對于任意的m∈N⁺恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據對數的運算性質，化簡得f（x）+f（-x）=0，可得f（-x）=-f（x），可得函數f（x）是奇函數；
（II）由題意，函數y=g（x）與y=f（x）互為反函數，將f（x）的x、y互換，解出用x表示y的式子，即可得到g（x）的解析式．再結合a的范圍加以討論，即可得到函數g（x）的定義域；
（III）根據a的范圍加以討論，并結合函數g（x）的單調性，建立關于a的不等式，解之即可得到實數a的取值范圍．

解答：解：（I）∵f（x）=loga(x+

1+x2

)
∴f（-x）=loga[-x+

1+(-x)2

]=loga(-x+

1+x2

)
可得f（x）+f（-x）=loga[(x+

1+x2

)(-x+

1+x2

)]=log_a（1+x²-x²）=log_a1=0
∴f（-x）=-f（x），
∵f（x）的定義域為R，
∴函數f（x）是奇函數
（II）∵f（x）=loga(x+

1+x2

)，g（x）圖象與曲線y=f（x）關于y=x對稱，
∴函數y=g（x）與y=f（x）互為反函數，
令x=loga(y+

1+y2

)，得y+

1+y2

=a^x，得（a^x-y）²=1+y²，
∴2ya^x=a^2x-1，得y=

a2x-1

2ax

，因此g（x）的解析式為g（x）=

1

2

（a^x-a^-x）
∵f（x）的定義域為{x|x≥

3

4

}
∴解不等式

1

2

（a^x-a^-x）≥

3

4

，得a^x≥2
當a＞1時，g（x）的定義域為[log_a2，+∞）；當0＜a＜1時，g（x）的定義域為（-∞，log_a2]
（III）由（2）得g（x）=

1

2

（a^x-a^-x）
當0＜a＜1時，log_a2＜0，此時定義域中無正整數，不滿足條件；
當a＞1時，需所有正整數在定義域中，故log_a2≤1，得a≥2
∵g（x）=

1

2

（a^x-a^-x）在其定義域內是增函數
∴由不等式g（x）＜

5m-5-m

2

=g（5），得a＜5，所求a的取值范圍是2≤a＜5

點評：本題給出對數型函數，討論函數的奇偶性并求函數在指定區間上的反函數，著重考查了指、對數函數的簡單性質和函數的反函數求法等知識，屬于中檔題．