Question

已知函數f（x）=x³+ax²+bx+c（x∈[-2，2]）的圖象過原點，且在x=±1處的切線的傾斜角均為

3π

4

，現有以下三個命題：
①f（x）=x³-4x（x∈[-2，2]）；
②f（x）的極值點有且只有一個；          
③f（x）的最大值與最小值之和為零．
其中真命題的序號是

①③

．

Answer 1

分析：先根據已知條件，列出關于a、b、c的方程組并解之得a=0，b=-4，c=0，由此得到①是真命題；對函數進行求導數運算，可得在區間[-2，2]上導數有兩個零點，函數也就有兩個極值點，故②為假命題；根據函數為奇函數，結合奇函數的圖象與性質可得f（x）的最大值與最小值之和為零，故③為真命題．由此可得正確答案．

解答：解：∵函數f（x）=x³+ax²+bx+c（x∈[-2，2]）的圖象過原點，
∴f（0）=c=0，得f（x）=x³+ax²+bx
對函數求導數，得f'（x）=3x²+2ax+b，結合題意知f'（1）=f'（-1）=tan

3π

4

=-1
∴3+2a+b=3-2a+b=-1，解之得a=0，b=-4，
對于①，函數解析式為f（x）=x³-4x（x∈[-2，2]），故①是真命題；
對于②，因為f'（x）=3x²-4=3（x+

2

3

3

）（x-

2

3

3

），f'（x）在區間[-2，2]上有兩個零點，
故f（x）的極值點有兩個，得②為假命題；
對于③，因為函數f（x）=x³-4x是奇函數，所以若它在[-2，2]上的最大值為f（m）=M，則它在[-2，2]上的最小值必為f（-m）=-M，
所以f（x）的最大值與最小值之和為零，③是真命題．
故答案為：①③

點評：本題以命題真假的判斷為載體，著重考查了函數的奇偶性、用導數切線的斜率和函數極值的求法等知識點，屬于基礎題．