Question

設函數f(x)=

a

? 

b

，其中向量

a

=（m，cos2x），

b

=（1+sin2x，1），x∈R，且y=f（x）的圖象經過點(

π

4

，2)．
（Ⅰ）求實數m的值；
（Ⅱ）求函數f（x）的最小值及此時x值的集合．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量的數量積化簡函數的表達式，通過函數的圖象經過點(

π

4

，2)，求實數m的值；
（Ⅱ）通過（Ⅰ）利用兩角和的正弦函數化簡函數為一個角的一個三角函數的形式，然后求函數f（x）的最小值及此時x值的集合．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

a

?

b

=m（1+sin2x）+cos2x，…（3分）
由已知f(

π

4

)=m(1+sin

π

2

)+cos

π

2

=2，得m=1．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=1+sin2x+cos2x=1+

2

sin(2x+

π

4

)，…（9分）∴當sin(2x+

π

4

)=-1時，f（x）的最小值為1-

2

，…（11分）
由sin(2x+

π

4

)=-1，得x值的集合為{x|x=kπ-

3π

8

，k∈Z}．…（14分）

點評：本題是中檔題，考查向量的數量積與三角函數的化簡求值，考查計算能力．常考題型．