Question

在三棱錐A-BCD中，AB，AC，AD兩兩互相垂直，AB=AC=AD=4．點(diǎn)P，Q分別在側(cè)面ABC，棱AD上運(yùn)動(dòng)．PQ=2，M為線段PQ的中點(diǎn)，當(dāng)P，Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡把三棱錐A-BCD分成兩部分的體積之比等于（　　）

• A、1：63
• B、1：（16

  2

  -1）
• C、π：（64-π）
• D、π：（14-π）

Answer 1

分析：由已知中三棱錐A-BCD中，AB，AC，AD兩兩互相垂直，AB=AC=AD=4，我們易計(jì)算出三棱錐A-BCD的體積，
又由點(diǎn)P，Q分別在側(cè)面ABC棱AD上運(yùn)動(dòng)，PQ=2，M為線段PQ中點(diǎn)，我們可以判斷M的軌跡為

1

8

球面，分別計(jì)算兩個(gè)幾何體的體積，進(jìn)而得到答案．

解答：解：∵AD⊥AB，AD⊥AC，AB∩AC=A，∴AD⊥平面ABC，AP?平面ABC，
∴△PAQ為直角三角形，M為斜邊PQ的中點(diǎn)，∴AM=

1

2

PQ=1，
∴M的軌跡是以A為球心，1為半徑的八分之一球面，
V₁=

1

8

×

4

3

π×1³=

π

6

，V₂=

1

3

×

1

2

×4×4×4-

π

6

=

64-π

6

，
∴

V1

V2

=

π

64-π

．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是棱錐的體積及球的體積，其中判斷出M的軌跡在以A為球心以1半徑的球面上是解答本題的關(guān)鍵．