Question

設a₁=2，a₂=4，數列{b_n}滿足：b_n=a_n+1-a_n，b_n+1=2b_n+2．求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：變形可得數列{b_n+2}是首項為4，公比為2的等比數列，可得a_n+1-a_n=2ⁿ⁺¹-2，累加可得．

解答：解：∵b_n+1=2b_n+2，∴b_n+1+2=2（b_n+2），即

bn+1+2

bn+2

=2，
又b₁+2=a₂-a₁=4，所以數列{b_n+2}是首項為4，公比為2的等比數列，
所以b_n+2=4×2^n-1，解得b_n=2ⁿ⁺¹-2，即a_n+1-a_n=2ⁿ⁺¹-2，
故可得a₂-a₁=2²-2，a₃-a₂=2³-2，…，a_n-a_n-1=2ⁿ-2，
累加可得a_n-a₁=（2²+2³+…+2ⁿ）-2（n-1）
=

2(1-2n-1)

2

-2n+2=2ⁿ-2-2n+2=2ⁿ-2n

點評：本題考查等比關系的確定，涉及累加法求數列的通項公式，屬基礎題．