Question

已知函數g（x）=x²-4x+5，函數f（x）=x³+ax²+bx+c在（-∞，-1），（2，+∞）上單調遞增，在（-1，2）上單調遞減，當且僅當x＞4時，f（x）＞g（x）
（1）求函數f（x）的解析式
（2）若y=m與函數g（x）的圖象有3個公共點，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由函數f（x）=x³+ax²+bx+c在（-∞，-1），（2，+∞）上單調遞增，在（-1，2）上單調遞減，知函數f（x）在點x=-1或2處取得極值，可得f′（1）=0，f′（2）=0求導，即可求字母的值；
（2）由（1）知f（x）=x³-

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x²-6x-11．作出其圖象，如圖，數形結合，若y=m與函數g（x）的圖象有3個公共點，求m的取值范圍．

解答：解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，
∵f（x）在（-∞，-1），（2，+∞）上單調遞增，在（-1，2）上單調遞減，
∴f′（-1）=0，f′（2）=0，
即f′（-1）=3-2ax+b=0，f′（2）=12+4ax+b=0，
∴a=-

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，b=-6，；
又f（4）=g（4），⇒c=-11．
∴f（x）=x³-

3

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x²-6x-11．
（2）由（1）知f（x）=x³-

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2

x²-6x-11．
作出其圖象，如圖．
∵f（x）的圖象與y=m的圖象只有三個交點，
數形結合，m的取值范圍：（-

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，-21）．

點評：考查應用導數研究函數的極值和單調性問題，有關函數圖象交點個數問題，轉化為圖象交點的個數問題，體現了轉化的思想方法，屬中檔題．