Question

（2013•梅州二模）設函數f（x）的定義域為R，若存在常數M＞0，使得|f（x）|≤M|x|對一切的實數x都成立，則稱f（x）為“倍約束函數”．現給出下列函數：①f（x）=2x，②f（x）=x²+1，③f（x）=sinx+cosx，④＜“m“：math dsi：zoomscale=150 dsi：_mathzoomed=1＞f（x）=xx2-x+3f(x)=

x

x2-x+3

，⑤f（x）是定義在實數集上的奇函數，且對一切的x₁，x₂均有|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|．其中是“倍約束函數”的有（　　）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：本題考查閱讀題意的能力，根據“倍約束函數”，的定義進行判定：對①f（x）=2x，易知存在K=2符合題意；②由基本不等式，易得

|f(x)|

|x|

≥2恒成立；③令x=0時即可得出結論對；④中求出

|f(x)|

|x|

的值域，可得結論；⑤通過取x₂=0，如此可得到正確結論．

解答：解：∵對任意x∈R，存在正數M，都有|f（x）|≤M|x|成立
∴對任意x∈R，存在正數K，都有 M≥

|f(x)|

|x|

成立
∴對于①f（x）=2x，易知存在M=2符合題意；
對于②，

|f(x)|

|x|

=

x2+1

|x|

=|x|+

1

|x|

≥2，故不存在滿足條件的M值，故②錯誤；
對于③，f（x）=sinx+cosx，由于x=0時，|f（x）|≤M|x|不成立，故③錯誤；
對于④f(x)=

x

x2-x+3

，

|f(x)|

|x|

=

1

|x2-x+3|

≤

4

11

恒成立，故④正確；
對于⑤，當x₁=x，x₂=0時，由|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|得到|f（x）|≤2|x|成立，這樣的M存在，故⑤正確；
故是“倍約束函數”的函數有3個
故選C．

點評：題屬于開放式題，題型新穎，考查數學的閱讀理解能力．知識點方面主要考查了函數的最值及其幾何意義，考生需要有較強的分析問題解決問題的能力，對選支逐個加以分析變形，利用函數、不等式的進行檢驗，方可得出正確結論．