Question

設函數f（x）是定義在[-1，0）∪（0，1]上的奇函數，當x∈[-1，0）時，f(x)=

a

x

-x2（a為實數）．
（1）若f(

1

2

)=-2，求a的值；
（2）當x∈（0，1]時，求f（x）的解析式；
（3）當a＞2時，試判斷f（x）在（0，1]上的單調性，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）根據f（x）是奇函數，可得f(-

1

2

)=-f(

1

2

)=2，解方程求得a的值．
（2）設x∈（0，1]，則-x∈[-1，0），故有 f(-x)=-

a

x

-x2，根據奇函數的定義解出f （x）．
（3）當a＞2時，f（x）在（0，1]上單調遞減，設x₁，x₂∈（0，1]且x₁＜x₁，可證得f（x₁）-f（x₂）＞0，
可得結論成立．

解答：解：（1）∵f（x）是奇函數，∴f(-

1

2

)=-f(

1

2

)=2∴-2a-

1

4

=2，∴a=-

9

8

．
（2）設x∈（0，1]，則-x∈[-1，0），∴f(-x)=-

a

x

-x2，∵f （x）是奇函數，
∴f（-x）=f（x），∴f(x)=

a

x

+x2．
（3）當a＞2時，f（x）在（0，1]上單調遞減．
證明：設x₁，x₂∈（0，1]且x₁＜x₂，
 則   f(x1)-f(x2)=(

a

x1

+x12)-(

a

x2

+x22)=a(

1

x1

-

1

x2

)+(x12-x22)=

x1-x2

x1x2

•[x1x2•(x1+x2)-a]，
∵x₁，x₂∈（0，1]，∴

x1-x2

x1x2

＜0，x₁x₂•（x₁+x₂）∈（0，2），
當a＞2時，x₁x₂•（x₁+x₂）-a＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴當a＞2時，f（x）在（0，1]上單調遞減．

點評：本題考查奇函數的定義，函數單調性的定義和證明方法，求函數的解析式是解題的難點，屬于中檔題．