Question

如圖所示，ABCD是一個矩形花壇，其中AB=4米，AD=3米．現將矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花園AMPN，要求：B在AM上，D在AN上，對角線MN過C點，且矩形AMPN的面積小于64平方米．
（1）設AN長為x米，矩形AMPN的面積為S平方米，試用解析式將S表示成x的函數，并寫出該函數的定義域；
（2）當AN的長度是多少時，矩形AMPN的面積最小？并求最小面積．

Answer 1

分析：（1）由△NDC∽△NAM，可得

DN

NA

=

DC

AM

，可得AM=

4x

x-3

，得到S=AN•AM=

4x2

x-3

，令S＜64即可得到定義域；
（2）由（1），通過換元，利用基本不等式即可得出．

解答：解：（1）由△NDC∽△NAM，可得

DN

NA

=

DC

AM

，
∴

x-3

x

=

4

AM

，即AM=

4x

x-3

，
故S=AN•AM=

4x2

x-3

，
由S=

4x2

x-3

＜64且x＞3，解得4＜x＜12，
故所求函數的解析式為S=

4x2

x-3

，定義域為（4，12）．
（2）令x-3=t，則由x∈（4，12），可得t∈（1，9），
故S=

4x2

x-3

=

4(t+3)2

t

=4(t+

9

t

+6)≥4(2

t• 9 t

+6)=48，
當且僅當t=

9

t

，即t=3時，即當x=6時，S取最小值48．
故當AN的長為6時，矩形AMPN的面積最小，最小面積為48平方米．

點評：本題考查了相似三角形的性質、矩形的面積、基本不等式的性質，屬于中檔題．