Question

如圖，已知直三棱柱中，,是棱上的動點，是的中點，，.

（1）當是棱的中點時，求證：平面；

（2）在棱上是否存在點，使得二面角的大小是？若存在，求出的長，若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

見解析

【解析】本試題主要是考查了空間立體幾何中線面的平行和二面角的求解運算，能合理的建立直角坐標系，是解決第二問的關鍵所在。

（1）證法1　取中點-----------（1分）因且，

且，故且，         （3分）

因而且因此平面。---------------（2分）

證法2　

以為坐標原點，射線為軸正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.

則,,，，，.

設，平面的法向量為，

依，

且，.　

可得　　

取，得------------（4分）

當是棱的中點時，.

則及　　得　

故平面.---------------------------------------------------（2分）

（2）因平面的法向量為， -------------------------（2分）

又二面角的大小是，故

即　解得.

故在棱上存在點，使得二面角的大小是.此時.（4分）