Question

已知：a=(cosa ，sina )，b=(cosb ，sinb )(0＜a ＜b ＜p )，

(1)求證：a＋b與a－b互相垂直；

(2)若ka＋b與a－kb長度相等(其中k為非零實數)，求b －a 的值．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)證法1：∵a=(cosa ，sina )，b=(cosb ，sinb )， ∴(a＋b)=(cosa ＋cosb ，sina ＋sinb )， (a－b)=(cosa －cosb ，sina －sinb )． 又(a－b)·(a－b) =(cosa －cosb )(cosa －cosb )＋(sina ＋sinb )(sina －sinb ) ∴(a＋b)⊥(a－b)． 證法2：∵a=(cosa ，sina )，b=(cosb ，sinb )， ∴， ． ∴． ∴， ∴(a＋b)⊥(a－b)． (2)解法1：∵ka＋b=(kcosa ，ksina )＋(cosb ，sinb ) =(kcosa ＋cosb ，ksina ＋sinb )， a－kb=(cosa －kcosb ，sina －ksinb )， ∴ (注：cosa ·cosb ＋sina ·sinb =cos(a －b )) 同理可求． 又∵|ka＋b|=|a－kb|， ∴． ∴2kcos(a －b )=－2kcos(a －b )． ∵k≠0，∴cos(a －b )=0．∴cos(b －a )=0． 又∵0＜a ＜b ＜p ，∴． 解法2：∵|ka＋b|=|a－kb|， ∴ ∴． ∴． 又∵∴a·b=0， ∴cosa cosb ＋sina sinb =0，∴cos(a －b )=0． ∵0＜a ＜b ＜p ，∴0＜b －a ＜p ，∴．

提示：

本題中(2)先對式子平方化簡更加簡單，在解題中要注意選擇本例中的兩種思路． (1)利用向量垂直坐標形式的充要條件證明； (2)利用長度公式，得出b －a 的三角函數值．