Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

在平面直角坐標系中，已知曲線的參數方程為（為參數），點是曲線上的一動點，以坐標原點為極點， 軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的方程為 .

（Ⅰ）求線段的中點的軌跡的極坐標方程；

（Ⅱ）求曲線上的點到直線的距離的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】試題分析：（1）由中點坐標公式得到M點坐標為，消參得到直角坐標，再化為極坐標方程；（2）寫出直線的直角坐標方程，轉化為圓心到直線的距離加減半徑。

解析：

（Ⅰ）設線段的中點的坐標為，

由中點坐標公式得（為參數），

消去參數得的軌跡的直角坐標方程為，

由互化公式可得點的軌跡的極坐標方程為．

（Ⅱ）由直線的極坐標方程為，得，

所以直線的直角坐標方程為，

曲線的普通方程為，它表示以為圓心，2為半徑的圓，

則圓心到直線的距離為，所以直線與圓相離，

故曲線上的點到直線的距離的最大值為．