Question

已知圓C：x²+（y-3）²=4，點A（0，-3），M是圓上任意一點，線段AM的中垂線l和直線CM相交于點Q，則點Q的軌跡方程為（　　）

• A．y2-

  x2

  8

  =1(y＞0)
• B．y2-

  x2

  8

  =1
• C．

  x2

  8

  -y2=1
• D．x2-

  y2

  8

  =1

Answer 1

分析：由題意畫出圖形，通過把Q到A和C的距離轉化，得到Q點的軌跡為雙曲線，然后直接由雙曲線定義得方程．

解答：解：如圖，連結QA，由于Q在AM的中垂線上，有|QA|=|QM|，
則||QA|-|QC||=||QM|-|QC||=|CM|．
CM是⊙C的半徑，|CM|=2．
所以Q到A、C的距離之差的絕對值為定值，則軌跡為雙曲線，
雙曲線的焦點是A、C，中心是AC中點
由于A（0，-3），C（0，3），
所以c=3，a=1．
則b²=a²-c²=8．
則雙曲線的方程是：y2-

x2

8

=1．
即Q的軌跡方程為y2-

x2

8

=1．
故選B．

點評：本題考查了與直線有關的動點軌跡方程，考查了雙曲線的定義，利用線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等是解答該題的關鍵，是中檔題．