Question

甲、乙兩隊參加奧運知識競賽，每隊3人，每人回答一個問題，答對者對本隊贏得一分，答錯得零分．假設甲隊中每人答對的概率均為，乙隊中3人答對的概率分別為，且各人回答正確與否相互之間沒有影響．用ξ表示甲隊的總得分．
（Ⅰ）求隨機變量ξ的分布列和數學期望；
（Ⅱ）用A表示“甲、乙兩個隊總得分之和等于3”這一事件，用B表示“甲隊總得分大于乙隊總得分”這一事件，求P（AB）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意甲隊中每人答對的概率均為，故可看作獨立重復試驗，故，
（2）AB為“甲、乙兩個隊總得分之和等于3”和“甲隊總得分大于乙隊總得分”同時滿足，有兩種情況：“甲得（2分）乙得（1分）”和“甲得（3分）乙得0分”這兩個事件互斥，分別求概率，再取和即可．
解答：解：（Ⅰ）解法一：由題意知，ξ的可能取值為0，1，2，3，且，，，．
所以ξ的分布列為

ξ的數學期望為．

解法二：根據題設可知，，
因此ξ的分布列為，k=0，1，2，3．
因為，所以．
（Ⅱ）解法一：用C表示“甲得（2分）乙得（1分）”這一事件，用D表示“甲得（3分）乙得0分”這一事件，所以AB=C∪D，且C，D互斥，又=，，
由互斥事件的概率公式得．
解法二：用A_k表示“甲隊得k分”這一事件，用B_k表示“乙隊得k分”這一事件，k=0，1，2，3．
由于事件A₃B，A₂B₁為互斥事件，故有P（AB）=P（A₃B∪A₂B₁）=P（A₃B）+P（A₂B₁）．
由題設可知，事件A₃與B獨立，事件A₂與B₁獨立，因此P（AB）=P（A₃B）+P（A₂B₁）=P（A₃）P（B）+P（A₂）P（B₁）=．
點評：本題考查獨立重復試驗、二項分布、期望、及互斥事件、獨立事件的概率問題，同時考查利用概率知識分析問題解決問題的能力．在求解過程中，注意P（AB）=P（A）P（B）只有在A和B獨立時才成立．