Question

如圖所示，已知點P為菱形ABCD外一點，且PA⊥面ABCD，PA=AD=AC，點F為PC中點，則二面角CBFD的正切值為（　　）

• A．

  3

  6

• B．

  3

  4

• C．

  3

  3

• D．

  2

  3

  3

Answer 1

分析：如圖所示，建立空間直角坐標系，利用兩個平面的法向量的夾角公式即可得出二面角的余弦，進而利用平方關系及商數關系即可得出．

解答：解：如圖所示，連接AC，AC∩BD=O，連接OF，
以O為原點，OB、OC、OF所在直線為x，y，z距離空間直角坐標系，
不妨設PA=AD=AC=1，則BD=

3

．
則B(

3

2

，0，0)，F(0，0，

1

2

)，C(0，

1

2

，0)，D(-

3

2

，0，0)．

OC

=(0，

1

2

，0)且為平面BOF的一個法向量，由

BC

=(-

3

2

，

1

2

，0)，

FB

=(

3

2

，0，-

1

2

)．
設平面BCF的法向量為

n

=(x，y，z)，則

n • BC =- 3 2 x+ 1 2 y=0 n • FB = 3 2 x- 1 2 z=0

，
不妨取x=1，則y=

3

=z．∴

n

=(1，

3

，

3

)．
∴cos＜

n

，

OC

＞=

n • OC

| n | | OC |

=

21

7

，sin＜

n

，

OC

＞=

2 7

7

，
∴tan＜

n

，

OC

＞=

2 3

3

．
故選D．

點評：熟練掌握通過建立空間直角坐標系利用兩個平面的法向量的夾角公式即可得出二面角的余弦的方法是解題的關鍵．