Question

在正項等比數列{a_n}中，公比q≠1，設P=

1

2

(log

1

2

a5+log

1

2

a7)，Q=log

1

2

a3+a9

2

，則P與Q的大小關系是

P＞Q

．

Answer 1

分析：由題意可得 a₅a₇=a₃a₉，化簡P為log

1

2

a5a7

，再由

a3+a9

2

＞

a5a7

 以及函數y=log

1

2

x 在定義域（0，+∞）上是減函數，可得log

1

2

a3+a9

2

＜log

1

2

a5a7

，即得Q和P的大小關系．

解答：解：∵正項等比數列{a_n}中，公比q≠1，∴a₅a₇=a₃a₉．
∴P=

1

2

(log

1

2

a5+log

1

2

a7  )=

log 1 2 a5a7

2

=

1

2

log

1

2

a5a7=log

1

2

a5a7

．
∴

a3+a9

2

＞

a3a9

=

a5a7

．
又 Q=log

1

2

a3+a9

2

，函數y=log

1

2

x 在定義域（0，+∞）上是減函數，
∴log

1

2

a3+a9

2

＜log

1

2

a5a7

，即 Q＜P．
故答案為 P＞Q．

點評：本題主要考查對數的運算性質的應用，基本不等式的應用，注意檢驗等號成立的條件，屬于基礎題．