Question

1．在四棱錐S-ABCD中，已知SC⊥平面ABCD，底面ABCD是邊長為4$\sqrt{2}$的菱形，∠BCD=60°，SC=2，E為BC的中點，若點P在SE上移動，則△PCA面積的最小值為2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求出P到AC的距離最小值，AC，即可求出△PCA面積的最小值．

解答 解：設P到BC的距離為x，則P到AC的距離為$\sqrt{{x}^{2}+（\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}x）^{2}}$=$\sqrt{\frac{3}{2}（x-\frac{2}{3}）^{2}+\frac{1}{3}}$，
∴x=$\frac{2}{3}$時，P到AC的距離最小值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵底面ABCD是邊長為4$\sqrt{2}$的菱形，∠BCD=60°，
∴AC=$\sqrt{32+32-2×4\sqrt{2}×4\sqrt{2}×（-\frac{1}{2}）}$=4$\sqrt{6}$，
∴△PCA面積的最小值為$\frac{1}{2}×4\sqrt{6}×\frac{\sqrt{3}}{3}$=2$\sqrt{2}$．
故答案為2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查三角形面積的計算，考查余弦定理，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．