Question

將方程x+tanx=0的正根從小到大地依次排列為a₁，a₂，…，a_n，…，給出以下不等式：①；②；③2a_n+1＞a_n+2+a_n；④2a_n+1＜a_n+2+a_n；其中，正確的判斷是________．（請寫出正確的序號）

Answer 1

②④
分析：在同一坐標系中分別畫出直線y₁=-x及正切曲線y₂=tanx的圖象，借助圖象分析方程x+tanx=0的正根的分布情況及變化規律，進而可得答案．
解答：解：分別作直線y₁=-x及正切曲線y₂=tanx的圖象如圖所示：
則兩者的交點即為x+tanx=0的根
則在正切函數的每一個周期π內，y₁與y₂都有一個交點，
由圖可得兩個交點橫坐標之間的差大于正切函數的半個周期，
但不超過正切函數的一個周期
∴＜a_n+1-a_n＜π，故②對①錯．
從原點向右距離越來越大
∴a_n+2-a_n+1＞a_n+1-a_n，即：2a_n+1＜a_n+2+a_n；
故④對③錯．
故答案為：②④．
點評：本題以命題的真假判斷為載體考查了正切函數的圖象和性質，方程根與函數零點的關系，畫出兩個函數的圖象，借助圖象直觀分析是解答的關鍵．