Question

已知數列{a_n}滿足a₁=1，且a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2，n∈N*）
（Ⅰ）求證：數列{

an

2n

}是等差數列，并求出數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數列{的前n項之和S_n．

Answer 1

分析：（I）在等式a_n=2a_n-1+2ⁿ的兩邊同除以2ⁿ，利用等差數列的定義得到證明，利用對稱數列的通項公式求出

an

2n

，進一步求出數列{a_n}的通項公式．
（II）由于通項是一個等差數列與一個等比數列的積構成的新數列，利用錯位相減法求出數列的前n項和．

解答：解：（I）∵a_n=2a_n-1+2ⁿ
∴

an

2n

=

an-1

2n-1

+1
即

an

2n

-

an-1

2n-1

=1
∴數列{

an

2n

}是等差數列，公差為=1，首項為

a1

2

=

1

2

∴

an

2n

=

1

2

+(n-1)×1
∴a_n=（2n-1）•2^n-1
（II）S_n=1•2⁰+3•2¹+5•2²+…+（2n-1）•2^n-1
∴2S_n=1•2¹+3•2²+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ
兩式相減得
-S_n=1+2•2¹+2•2²+…+2•2^n-1-（2n-1）2ⁿ=（3-2n）•2ⁿ-3
∴S_n=（2n-3）•2ⁿ+3

點評：求數列的前n項和，一般先求出數列的通項，然后選擇合適的求和方法．常用的求和方法有：公式法、倒序相加法、錯位相減法、裂相消法、分組法．